Фамилия Алёшинкова — женская форма от Алёшинков, а та, в свою очередь, образована от имени Алёша через суффикс -нк- (с последующим -ов). Это редкий случай: в русских фамилиях суффикс -нк- встречается нечасто, и он указывает на то, что фамилия могла сложиться не напрямую от имени, а от прозвища, образованного с уменьшительно-ласкательным суффиксом -нк(а): Алёшинка. Так могли называть младшего сына или просто человека маленького роста, которого звали Алёшей. То есть Алёшинковы — это «дети того, кого звали Алёшинкой».

Сама основа — Алёша — народная, обиходная форма крестильного имени Алексей (от греческого «защитник»). Фамилии на -ов, -ев, -ин в центральной России массово закрепились в XVI–XVII веках, но форма с -нк- выбивается из ряда типичных «Алёшин» или «Алексеевых». Она встречается в основном в южнорусских и белорусских говорах, где суффикс -нк- был продуктивнее: так образовывали не только уменьшительные имена, но и прозвища по занятию или внешности. В писцовых книгах XVII века по Рязанскому краю попадаются «Алёшинка» как личное прозвище, а не имя.

Филолог Б. Унбегаун в «Русских фамилиях» отмечал, что модели с суффиксом -нк- характерны для украинской и белорусской ономастики, но в русской среде они редки и часто указывают на миграцию или смешанное происхождение. Поэтому Алёшинкова — фамилия, которая могла возникнуть на стыке великорусской и малороссийской традиций, например, в Слобожанщине или на южных окраинах Московского государства.

Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог: Алёшинкова. Встречаются варианты написания с одной «н» — Алёшикова, но это уже другая фамилия, образованная от «Алёшик» (тоже уменьшительное, но с другим суффиксом). Если ваши предки носили эту фамилию, они, вероятно, происходили из крестьянской или посадской среды, где прозвища были живыми и конкретными, а не книжными.