Фамилия Аляпышева — женская форма от Аляпышев, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель на -ев указывает на притяжательное значение: «чей?» — Аляпышев, то есть сын или потомок человека по прозвищу Аляпыш. Суффикс -ев, а не -ов, часто появляется после мягких или шипящих согласных основы, что здесь и происходит.

Основа — Аляпыш. Самая вероятная версия: прозвище от глагола «аляпать» или «ляпать» — делать кое-как, небрежно, наспех. В говорах «аляповатый» означает грубый, неуклюжий, неискусный. Соответственно, Аляпышем могли прозвать человека, который работал неаккуратно, или того, кто отличался простотой и неловкостью в поведении. Прозвища с такой мотивацией были распространены в крестьянской и ремесленной среде: они не столько оскорбляли, сколько закрепляли заметную черту.

Менее вероятно, но допустимо происхождение от диалектного «аляпыш» в значении «лепёшка» или «комок» — в некоторых говорах так называли нечто слепленное наспех. Тогда прозвище могло относиться к пекарю или к человеку с округлой фигурой. Однако прямых словарных фиксаций слова «аляпыш» в значении «лепёшка» мало, поэтому версия с «аляпать» надёжнее.

Фонетическая особенность: начальное А-, а не О-. Если бы фамилия возникла от «оляпать» (тот же корень с чередованием), мы бы увидели Оляпышев. Форма с А- указывает на севернорусское или владимирское «аканье» либо на фиксацию прозвища в той местности, где аканье было нормой письменной речи уже в XVII–XVIII веках.

Фамилия редкая, не входит в сотни самых частых. Основной ареал современных носителей — Центральная Россия, Поволжье, встречаются единичные семьи на Урале. Это говорит о том, что прозвище не получило широкого распространения и, скорее всего, возникло в одном или нескольких соседних сёлах. Сословно — почти наверняка крестьянская среда: прозвища, образованные от бытовых глаголов, редко давали дворянам или духовенству.

Таким образом, Аляпышева — фамилия, которая прямо говорит о предке: его звали или дразнили Аляпышем за небрежную работу или простоватый нрав. Никакой тайны в ней нет, но зато есть живая связь с русским разговорным словом, которое до сих пор слышно в прилагательном «аляповатый».