Фамилия Амёхин — один из тех случаев, когда за привычным звучанием скрывается сразу несколько возможных историй. В основе фамилии лежит прозвище или именование Амёха. Самая прямая версия связывает его со словом «омёха». Владимир Даль в своем словаре приводит для «омёхи» целый веер значений: это и «котомка, кошелка, плетеня», и просто «мешок», а в переносном смысле — «неповоротливый человек, ротозей». Если прозвище пошло от этого корня, то Амёхой могли назвать либо человека с характерной медлительностью или рассеянностью, либо того, кто был полноват и неуклюж. Но возможен и другой, ремесленный поворот: Амёхой могли прозвать мастера, который как раз такие омёхи и плел.

Параллельно существует версия, что Амёха — это не самостоятельное прозвище, а обиходная форма крестильных имён. Здесь два главных кандидата. Первый — имя Амос, которое восходит к древнееврейскому слову со значением «нагруженный, несущий ношу». Второй — имя Емельян, через народные формы Омельян и Амельян. У имени Емельян греческие корни: aimylios переводится как «льстивый». Обе версии имеют право на жизнь: в русской деревне имена в быту часто укорачивались до неузнаваемости, и Амёха могло спокойно закрепиться за Амосом или Емельяном.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе Амёха добавили суффикс принадлежности -ин. Вопрос с буквой «ё» здесь не случаен: в фамилиях она регулярно указывает на происхождение от слов с этим звуком, и написание «Амёхин» — не прихоть, а прямое указание на корень. Встречающееся в документах написание «Амехин» — результат упрощения, когда «ё» заменяли на «е» в официальных записях.

Известно, что в начале XX века носители фамилии жили на юге и юго-востоке России. Встречаются записи: Амехин Демьян Иванович родился в 1907 году в станице Лысогорской Ставропольского края, Амехин Константин Герасимович — в 1896 году в Саратовской области в селе Вязовка, Амехин Николай Демьянович — в 1936 году в Северной Осетии. Эта география — от Ставрополья до Поволжья — говорит о том, что фамилия была распространена среди крестьянского и казачьего населения, а не в столичных регионах.