Фамилию Андюшев стоит разбирать, начиная с суффикса. Перед нами типичная русская модель на -ев, а не на -ов. Разница принципиальная: суффикс -ев присоединяли к основам, оканчивающимся на мягкий согласный или на -й. В фамилии Андюшев основа — Андюш-, где конечный звук мягкий ш'. Это сразу говорит о том, что перед нами не «Андюшов» (что было бы возможно, если бы основа звучала твёрдо), а именно Андюшев, и это указывает на происхождение от имени или прозвища с уменьшительно-ласкательным суффиксом.

В основе лежит каноническое имя Андрей, греческого происхождения («мужественный»). От Андрея в народной среде образовали множество обиходных форм: Андрейка, Андрюша, Андроня, Андря. Форма Андюша — одна из редких, с характерным для русских говоров переходом р в д (сравните: «Андрей» → «Андюша», как «Федор» → «Федюша»). Иногда так называли не самого Андрея, а человека, который был «Андрюшиным сыном» или просто служил у Андрея, но в фамилии закрепилось именно это ласкательное прозвище.

Модель «имя + суффикс -ев» — классическая для русских фамилий, образованных от крестильных имён. В XVI–XVII веках, когда шло массовое закрепление фамилий за крестьянами и посадскими, отца или деда могли записать как «Андюша», а его потомки стали Андюшевыми. Фамилия не дворянская и не купеческая — на это указывает отсутствие суффикса -ский или -ов в «чистой» форме. Она бытовала в среде крестьян и мещан, особенно в северных и центральных губерниях России, где имя Андрей было одним из самых распространённых.

Интересна параллель с фамилией Андюшев и её возможной вариацией Андюшевский. Вторая форма — более поздняя и книжная, могла возникнуть в среде духовенства (семинаристы часто переделывали простые фамилии на «благородный» лад). Но основная масса носителей — это именно Андюшевы, без приставки. Встречается фамилия и в белорусском ономастиконе, где имя Андрей также давало формы «Андзюш» и «Андзюша», а фамилия оформлялась по местным нормам.

Коротко: предки носителя фамилии Андюшев — русские люди, которых в быту звали Андюшами. Скорее всего, они жили в крестьянской или ремесленной среде, а сама фамилия закрепилась в XVI–XVII веках на территории Московского государства.