Фамилия Ангалышева — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Если отбросить типичные для русского ономастикона суффиксы -ов/-ев и -ин, то здесь мы видим суффикс -ев, присоединённый к основе «Ангалыш». Сама основа явно не славянская, что сразу сужает круг поиска.

Наиболее вероятное объяснение лежит в тюркских языках. В башкирском, татарском и других языках урало-поволжской группы есть корень «ангал» или «ангалы» со значением «широкий», «просторный», «открытый». Суффикс -ыш/-иш в тюркских языках часто образует имена или прозвища, указывающие на характерный признак. Таким образом, Ангалыш могло означать человека «широкого», «размашистого» — либо по комплекции, либо по образу жизни (например, человек, живущий на широкую ногу, или владелец больших угодий).

Вторая, менее популярная версия, связывает фамилию с географическим названием. В Башкортостане существует деревня Ангалыш (в Балтачевском районе). В таком случае фамилия Ангалышев могла образоваться по модели «житель такой-то деревни»: человек, вышедший из Ангалыша, становился Ангалышевым. Это типичный для русских фамилий случай, когда прозвище по месту жительства получало тюркский суффикс, а затем оформлялось русским патронимическим окончанием.

Фамилия Ангалышева — женская форма, образованная по стандартному правилу от мужской Ангалышев. Носительницы фамилии, скорее всего, имеют корни в среде поволжских татар или башкир, а сама фамилия фиксируется преимущественно в республиках Башкортостан и Татарстан, а также в прилегающих областях (Оренбургская, Челябинская). Поскольку фамилия редкая, её носители, вероятно, происходят из одного или нескольких близких родов, а не из множества разрозненных семей.