Фамилия Анник чаще всего — это «сын Анника», то есть человека по имени Анник. Само имя Анник — это уменьшительная, бытовая форма от полного канонического имени Аникита (в церковной традиции — Иоанникий). Греческое слово «аникитос» означает «непобедимый», и именно это значение легло в основу имени. В римской истории есть параллель: латинское «anicius» дало имя Аниций, которое носил известный патрицианский род. Возможно, прибалтийско-финское имя Анникка, очень популярное у эстонцев и карел, восходит к той же древней основе — не исключено, что через византийское или славянское посредничество.

Модель образования фамилии проста и прозрачна: суффикс нулевой, фамилия совпадает с исходной формой имени. Это характерно для фамилий, которые закрепились в письменных источниках относительно поздно, когда имя уже перестало восприниматься как уменьшительное и стало самостоятельным прозвищем или семейным именованием. В русской традиции такие фамилии (Анник, Ваник, Тимон) встречаются реже, чем патронимы на -ов или -ин, но они есть, особенно в северных и западных регионах, где сильнее влияние местных говоров и соседних языков.

Церковные покровители имени — несколько святых Иоанникиев, включая преподобного Иоанникия Девиченского и преподобномученика Иоанникия Зографского. Однако в быту полное имя почти не использовалось: крестьян и мещан чаще записывали по краткой форме. Поэтому фамилия Анник — не книжная, а живая, народная, и её носители, скорее всего, не были связаны с духовным сословием. Это имя-прозвище, которое мог получить человек с «непобедимым» характером или просто сын Аникиты, которого в деревне звали Анником.

Географически фамилия редкая. Встречается в основном у русских, у эстонцев и у потомков прибалтийских финнов. В Эстонии и Финляндии Анникка — распространённое женское имя, но мужская форма Анник тоже известна. Если предки были из северо-западных губерний или Прибалтики, фамилия могла закрепиться именно в финно-угорской среде, где имя Анникка давали и мальчикам, и девочкам. В таком случае русская фамилия Анник — это адаптация местного имени под русскую письменность.