Фамилия Анрешковы — редкая и структурно прозрачная, но с неочевидной основой. Она образована по стандартной русской модели с суффиксом -ов, который указывает на принадлежность: «чей?» — Анрешков, то есть сын или потомок человека по прозвищу Анрешко. Суффикс -к- в основе (Анрешк-) — типичный уменьшительный или прозвищный формант, как в фамилиях Тишков, Мишков, Федьков. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Анре́шковы.

Главная загадка — корень «Анреш». В русских говорах и документах XVI–XVII веков слово «анрех» или «анрешка» не фиксируется. Наиболее вероятное объяснение — искажённое или диалектное произношение имени Андрей. В северных и сибирских говорах «д» перед «р» могло выпадать или переходить в другой звук: Андрей → Анрей → Анре́й. А форма Анрешко могла появиться через суффикс -ешк- (сравните: Андрюшка → Антрешко? или от варианта Анрешка с чередованием ш/с). Прямых аналогов в словарях русских фамилий нет, но логика словообразования подсказывает именно эту версию: Анрешковы — потомки человека, которого в быту звали Анрешко, то есть по-простому Андрей.

Менее вероятно, но допустимо происхождение от редкого прозвища, связанного с глаголом «анрешить» — в некоторых говорах так называли упрямого или спорщика (от «решить» с отрицательной приставкой ан-). Однако эта версия не подкреплена надёжными источниками и выглядит искусственной.

Географически фамилия встречается точечно, в основном в центральных областях России и на Урале. В дореволюционных метрических книгах XIX века носители Анрешковы — преимущественно крестьяне и мещане. Сословных привилегий или дворянских корней у фамилии не обнаружено. Это типичная «прозвищная» фамилия, возникшая в крестьянской среде в эпоху, когда фамилии закреплялись за целыми родами по имени или прозвищу главы семьи.

Если сравнивать с однокоренными, ближе всего стоят фамилии Андреев, Андрюшин, Андреичев — все они восходят к тому же имени Андрей, но через разные суффиксы. Анрешковы — один из редких вариантов, сохранивший местное произношение, которое не закрепилось в литературной норме.