Фамилия Антанкина — женская форма мужской фамилии Антанкин, и её происхождение неочевидно на первый взгляд. В отличие от типичных русских фамилий на -ов/-ев, модель на -ин указывает на происхождение от существительного или прозвища, оканчивающегося на -а или -я. В данном случае основа — «Антанка» или «Антанк(а)».

Самый вероятный корень — имя Антон. В русских говорах имя Антон могло трансформироваться в уменьшительные формы: Антоня, Антоха, Антоша, а также Антанка (с переходом «о» в «а» под влиянием аканья, типичного для южнорусских и среднерусских говоров). Суффикс -к- в прозвище Антанка — типичный уменьшительно-ласкательный или уничижительный (ср. Ванька, Санька). Таким образом, Антанкин — буквально «сын Антанки», то есть потомок человека, которого в быту звали Антанкой (от Антон).

Существует и редкая, но возможная версия, связанная с географическими названиями. В ряде регионов (например, в бывшей Орловской губернии) встречаются топонимы вроде Антанка, Антаново. В таком случае фамилия могла закрепиться за выходцем из деревни с таким названием, но это менее вероятно, так как для топонимических фамилий типичен суффикс -ский.

Важная деталь: фамилия Антанкина не имеет отношения к слову «антанта» (фр. entente — «согласие»). В русских документах XVIII–XIX веков, когда фамилия уже активно бытовала среди крестьян и мещан, это политическое понятие не использовалось, а заимствование вошло в язык лишь в начале XX века. Совпадение звучания случайно.

Сословно Антанкины, скорее всего, происходят из крестьян или мещан центральной России. Фамилия недворянская, не имеет аристократических приставок и не встречается в родословных книгах высшего сословия. Встречается преимущественно в Тульской, Рязанской, Калужской и Московской областях, что подтверждает её связь с акающими говорами.

Итог: Антанкина — фамилия от имени Антон, через прозвище Антанка. Ваш предок, вероятно, был крестьянином или ремесленником из центральной России, которого в обиходе звали Антанкой — уменьшительно от Антон.