Фамилия Апонова — женская форма мужской фамилии Апонов. В основе её лежит имя или прозвище Апон. Разбирать слово нужно с конца: суффикс -ов указывает на притяжательный характер (чей? — Апонов), то есть первоначально так называли человека из семьи Апона: сын, внук или вдова.

Сам корень «Апон-» неочевиден. Самая вероятная версия — это народная форма канонического имени Аполлон. В русской традиции полные имена часто сокращали и адаптировали: Аполлон → Аполон → Апон. Подтверждение этой модели находим в фамилиях Апанасов, Апанасенко (от Афанасий), Апонин (от Аполлон). В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» разбирается похожий случай: фамилия Апонин образована от уменьшительного Апоня, а Апонов мог возникнуть параллельно — от усечённой основы без суффикса -ин.

Менее распространённая версия связывает фамилию с греческим словом «апон» (отсутствующий). Но для русских фамилий такая прямая заимствованная основа без посредничества имени маловероятна. Скорее всего, это случайное совпадение.

Географически фамилия Апонова встречается нечасто, в основном в центральных и южных регионах России. Это говорит о том, что она не принадлежала к массовым «географическим» фамилиям (вроде Казанцев, Ростовцев), а возникла в конкретной местности от прозвища одного человека. Носитель фамилии Апонов мог быть крестьянином, мещанином или священником — сословная принадлежность по окончанию не определяется. В дореволюционных метрических книгах эта фамилия фиксируется в Тамбовской, Рязанской и Воронежской губерниях.

Таким образом, Апонова — это отчество в форме притяжательного прилагательного, восходящее к уменьшительной форме имени Аполлон. Предок носительницы фамилии был, скорее всего, человеком, которого в быту звали Апоном — сокращённо от полного церковного имени.