Фамилия Арчинская — женская форма фамилии Арчинский, которая образована по типичной для русского дворянства и духовенства модели с суффиксом -ск-. Этот суффикс указывает на принадлежность к местности или роду: Арчинский значит «выходец из Арчи» или «относящийся к Арче». Географическая привязка здесь ключевая.

Сразу бросается в глаза связь с топонимом Арчи. На карте России таких точек несколько. Самая известная — село Арчи в Дагестане, центр арчинцев (самоназвание — аршишттиб), одного из малых народов Кавказа. Арчинцы говорят на арчинском языке лезгинской группы, и их село стоит высоко в горах. Если предки носителя фамилии оттуда, то Арчинский — это указание на этническое происхождение: «из арчинцев». Однако фамилия могла возникнуть и вне Кавказа: в России есть деревни Арчи и Арча (например, в бывшей Архангельской губернии), а также речка Арча в бассейне Оки. В этом случае фамилия означала бы просто «житель села Арчи».

Модель на -ский характерна для фамилий, которые закрепились в среде дворянства и духовенства в XVII–XIX веках. Поэтому Арчинский — скорее всего, фамилия не крестьянская, а либо семинарская (давалась выпускникам духовных училищ по названию их родного села), либо помещичья. Версия с дагестанскими корнями менее вероятна для классической русской фамилии на -ский: у народов Кавказа фамилии обычно образуются иначе (через патронимы на -ов/-ев). Значит, логичнее предположить, что основа — русский топоним Арчи, а не этноним «арчинцы».

В написании через -ч- (а не -щ-) фамилия сохраняет исходное звучание основы. Встречается она нечасто, и это как раз тот случай, когда редкая фамилия почти наверняка привязана к конкретному селу или урочищу. Сравните с однокоренными Арчевский, Арчаков — все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами.