Фамилия Арчинская — женская форма фамилии Арчинский, и её разговор стоит начать с модели образования, а не с корня. Суффикс -ск- в русских фамилиях указывает на принадлежность к местности или роду: Арчинский буквально значит «выходец из Арчи» или «относящийся к Арче». Эта модель типична для русского дворянства и духовенства XVII–XIX веков, поэтому перед нами, скорее всего, не крестьянская фамилия, а либо семинарская (давалась выпускникам духовных училищ по названию родного села), либо помещичья.

Географическая привязка здесь ключевая. Сразу бросается в глаза связь с топонимом Арчи. На карте России таких точек несколько. Самая известная — село Арчи в Дагестане, центр арчинцев (самоназвание — аршишттиб), одного из малых народов Кавказа, говорящих на арчинском языке лезгинской группы. Если предки носителя фамилии оттуда, то Арчинский — этническое указание: «из арчинцев». Однако в Дагестане фамилии обычно образуются через патронимы на -ов/-ев, а не на -ский. Для классической русской фамилии на -ский версия с дагестанскими корнями менее вероятна. Логичнее предположить, что основа — русский топоним: в России есть деревни Арчи и Арча (например, в бывшей Архангельской губернии), а также речка Арча в бассейне Оки. В этом случае фамилия означала бы просто «житель села Арчи».

В написании через -ч- (а не -щ-) фамилия сохраняет исходное звучание основы. Встречается она нечасто, и это как раз тот случай, когда редкая фамилия почти наверняка привязана к конкретному селу или урочищу. Сравните с однокоренными Арчевский, Арчаков — все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами, что подтверждает: ключевая деталь здесь не этнос, а конкретное место, откуда пошёл род.