Фамилия Аргандеев — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней нет очевидного тюркского или славянского корня, который можно было бы сразу распознать, а суффикс -еев указывает на патронимическую модель: фамилия образована от имени или прозвища Аргандей. Именно эта основа — Аргандей — и требует разбора.

Вероятнее всего, в основе лежит тюркское имя Аргындей, которое могло трансформироваться в русской среде. У тюркских народов (татар, башкир, казахов) распространён корень «аргын» (аргун) — название одного из крупных родов или племён. Имя Аргындей могло означать «принадлежащий роду Аргын» или «сын Аргына». При попадании в русскую языковую среду сложное для произношения сочетание «гын» могло упроститься до «ган» — так и возникло Аргандей. Суффикс -ей в таких именах часто выполнял уменьшительную или обиходную функцию, как в именах Байтей, Токтей.

Менее вероятна, но возможна связь с диалектным словом «арганак» — так в некоторых сибирских говорах называли конскую узду или деталь упряжи. Тогда Аргандей могло быть прозвищем человека, имевшего отношение к конной тяге — конюха, извозчика или мастера по сбруе. Но эта версия слабее: прозвища от конкретных предметов упряжи встречаются, но обычно они даются по более заметным признакам, а не по детали.

Фамилия Аргандеев почти не встречается в центральных регионах России. Её можно найти в Поволжье и Приуралье — зоне активного смешения русского и тюркского населения. Если ваши предки оттуда, то версия с тюркским корнем становится почти бесспорной. Фамилия не относится к дворянским или старым московским родам — скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, закрепившаяся за одним родом в XVIII—XIX веках.

В написании фамилии стоит обратить внимание на двойное «а» — Аргандеев, а не Аргендеев. Это указывает на то, что в основе был именно звук «а», а не «е» или «и», что дополнительно подтверждает тюркский источник: в тюркских языках «аргын» произносится с чётким «а» в первом слоге.