Фамилия Аргумбаева — случай, когда тюркская основа очевидна, а вот точное значение скрыто за фонетическими изменениями. Если отбросить женское окончание -а, получим мужскую форму Аргумбаев, построенную по стандартной русской патронимической модели с суффиксом -ев. Суффикс указывает на происхождение по отцу: «сын такого-то». Вся интрига — в корне «Аргумбай».

Корень делится на две части: «Аргум» и «бай». Компонент «бай» в тюркских языках (казахском, киргизском, башкирском) означает «хозяин», «богач», «господин» — это традиционная часть множества личных имён и прозвищ. А вот «Аргум» — более сложная история. Самая убедительная версия связывает его с названием крупного казахского племени Аргын (Аргун), входящего в Средний жуз. Имя Аргынбай (буквально «богач из рода Аргын») у казахов и киргизов встречается. Со временем звук «н» на стыке с «б» закономерно перешёл в «м» (явление ассимиляции: Аргынбай -> Аргумбай). Для разговорной речи, где согласные подстраиваются друг под друга, это совершенно естественно. Значит, Аргумбай — человек, чей предок был отмечен родовой принадлежностью к аргынам или носил имя, прямо на это указывающее.

Вторая версия — от арабского корня «р-г-м» («рагим» — милостивый) — слабая. Для образования сложного имени с «бай» такая модель нехарактерна, а вот тюркская конструкция «родовое имя + бай» встречается сплошь и рядом.

Фамилия Аргумбаева почти наверняка имеет казахские корни. Она нечастая, что говорит о её относительно локальном бытовании. Носители фамилии, скорее всего, происходят из южных или центральных регионов Казахстана, где род Аргын исторически занимал обширные территории. В XIX веке, при массовом присвоении фамилий оседлому населению, имя отца или деда (Аргумбай) просто записали в документах, добавив русское окончание, — так фамилия и закрепилась, сохранив отсылку к древнему степному роду.