Фамилия Архагова — женская форма, образованная от мужской Архагов. Её корень «арх» в русском языке нехарактерен для исконно славянских фамилий, и это сразу подсказывает путь поиска: перед нами, скорее всего, фамилия, вошедшая в русский обиход из тюркской или кавказской среды. Модель образования простая — к основе «Архаг» добавили русский суффикс притяжательности -ов, получив типичную для России форму «чей?» — Архагов, то есть «сын (или потомок) Архага». Значит, предок носителя фамилии был человеком, которого в русскоязычном окружении называли прозвищем Архаг.

Что могло означать это прозвище? Самая надёжная версия связана с тюркскими языками: «арх» или «арк» означает «спина», «тыл», «задняя сторона», а также «крепость», «твердыня» (сравните турецкое «arka» — спина, «arkadaş» — товарищ, буквально «товарищ по спине»). Исходя из этого, прозвище могло иметь два противоположных смысла: либо человека прозвали Архагом за крепость и надёжность — «как скала», либо, наоборот, за привычку держаться позади, в тылу. Обе трактовки встречаются в народной антропонимии.

Менее вероятна связь с осетинским «архаг» — «гость» или «путник», но полностью исключать её нельзя, учитывая географию фамилии. Спорная версия — возводить корень к греческому «архе» (начало, власть) или к церковному имени Архангел. Но если бы фамилия происходила от Архангела, она бы звучала как Архангелов, а не Архагов, поэтому эта гипотеза маловероятна.

География фамилии подтверждает её северокавказский след. Архаговы встречаются в Чечне, Ингушетии и среди терских казаков Ставрополья. Это объяснимо: фамилия могла появиться именно в зоне активных контактов русскоязычного населения с местными народами. Казаки нередко давали соседям прозвища на тюркской основе, а затем эти прозвища закреплялись как фамилии по русской модели. Так что человек по прозвищу Архаг — крепкий, надёжный (или, напротив, тот, кто держался в тени) — стал родоначальником этой фамилии.