Фамилия Армянище интересна тем, что в ней столкнулись сразу два пласта: этническое прозвище и редкая словообразовательная модель. В основе лежит слово «армянин», а вот суффикс «-ищ(е)» — ключ к пониманию. В русском языке этот суффикс обычно придаёт увеличительное значение (ср. «домище», «ручища»), но в фамилиях он работает иначе. В украинской и южнорусской ономастике «-ищ(е)» мог указывать на потомка по отцу, подчёркивая родство: «Армянище» — буквально «сын армянина» или «тот, кто происходит от армянина». Такая же модель встречается в фамилиях Турчище, Ляхище, Цыганище — все они образованы от названий народов.

Вероятнее всего, прозвище Армянище дали человеку, который не был этническим армянином, а выделялся внешностью, одеждой или торговыми связями, напоминавшими об армянах. В XVI–XVII веках армянские купцы часто бывали на юге России и Украины, и местные жители могли закрепить за кем-то такое прозвище по принципу «похож на армянина» или «жил у армян». Альтернативная версия — что предок действительно был армянином, поселившимся в славянской среде, и его дети получили фамилию по отцу с этим суффиксом.

Фамилия редкая и географически привязана к южным регионам России и востоку Украины. В дореволюционных переписях она не встречается массово, что говорит о её локальном бытовании — возможно, в одной-двух волостях. Сословная принадлежность, скорее всего, крестьянская или мещанская: дворянские фамилии с таким корнем практически не фиксируются.

В отличие от более распространённых фамилий вроде Армянинов или Армянов, форма на «-ище» сохраняет оттенок прозвищности и бытовой речи. Если вы носите фамилию Армянище, ваши предки, скорее всего, жили в южной полосе и получили её не по этническому признаку, а по внешней или социальной характеристике — так в прошлом цеплялись яркие уличные клички, которые затем закреплялись в документах.