Фамилия Арнашов — редкий случай, когда разбор начинается не с корня, а с суффикса. Перед нами модель на -ов, самая распространённая в русских фамилиях, но основа нестандартная. В ней нет типичного для русской антропонимии суффикса принадлежности — значит, перед нами не отчество от крестильного имени, а прозвищное образование. Скорее всего, фамилию дали по отцу, которого в народе звали Арнаш.

Корень «арнаш-» почти наверняка тюркского происхождения. В татарском, башкирском, чувашском языках есть слово «арнаш» или близкие к нему формы. В одном из значений «арнаш» — это «плетень», «изгородь», «ограда». Прозвище Арнаш могли дать человеку, который жил у плетня, занимался плетением изгородей или просто имел склонность «отгораживаться» от людей. Другой вариант: в диалектах «арнаш» означало «неряха», «растрёпа» — человека с взлохмаченными, как плетень, волосами. Оба значения бытовые, а не книжные, что подтверждает: фамилия родилась в народной среде, а не в канцелярии или церкви.

Менее вероятно, что основа восходит к тюркскому имени Арнаш (от «ар» — мужчина, герой + уменьшительный аффикс). В крестильных святцах такого имени нет, а значит, фамилия не церковная, а мирская. Сословный состав носителей, скорее всего, был крестьянским или мещанским — фамилии на -ов у дворян и духовенства встречаются реже, а тюркские заимствования в прозвищах типичны для простонародья.

Географически фамилия Арнашов тяготеет к Поволжью и Приуралью: Татарстан, Башкортостан, Оренбургская область. Это те регионы, где русское население веками соседствовало с тюркским, и прозвища с тюркскими корнями переходили в русские фамилии. В центральных и северных областях России фамилия практически не встречается — это дополнительный аргумент в пользу её регионального происхождения.

Интересная деталь: в дореволюционных метрических книгах можно найти написание через «о» — Орнашов. Это не ошибка, а диалектное «аканье» на письме: в некоторых говорах безударная «а» звучала как «о», и писарь записывал на слух. Так что если предки вашей семьи писались через «О», это не иная фамилия, а вариант того же корня. Такая вариативность типична для фамилий, которые долго не фиксировались официально и ходили в устной речи.