Фамилия Асмаковская — женская форма от Асмаковский, и её разбор стоит начать не с корня, а с модели образования. Суффикс -ск- указывает на типично польский или западнорусский (шляхетский) способ создания фамилий от географических названий. В польской традиции фамилии на -ский/ -цкий носили в основном дворяне, но в Российской империи, особенно после разделов Речи Посполитой, этот суффикс распространился и среди крестьян, и среди мещан, часто через прозвище по месту жительства. Так что Асмаковские, скорее всего, происходят из местности с названием Асмаково, Асмаковка или Асмаковичи.

Где искать такую местность — вопрос. Корень «асмак» не является славянским. Скорее всего, он тюркского происхождения: «асмак» в ряде тюркских языков означает «вешать, подвешивать», а в переносном смысле могло быть прозвищем — например, «висельник» или «тот, кто вешает» (палач). Но это маловероятно для основы фамилии: географические названия с таким корнем встречаются в Поволжье и Приуралье, где были смешанные татаро-русские поселения. Возможен вариант, что «Асмак» — искажённое татарское имя Асман (от арабского «небо») или Асма (более высокая, возвышенная). Тогда Асмаковский — это «выходец из села, названного по имени основателя Асмака».

Есть и более простая версия: фамилия могла возникнуть от прозвища Асмак, данного человеку за привычку «асмакать» — то есть говорить невнятно, гнусавить (от диалектного «асмак» — заика). В таком случае Асмаковские — потомки человека с речевым дефектом, и фамилия образована по русской модели: прозвище + -ов + -ский (как Полуэктовский, Игнатовский). Эта версия правдоподобнее тюркской, поскольку суффикс -ск- в русских фамилиях часто прикреплялся к уже готовым отчествам на -ов, чтобы придать им «благородное» звучание.

С географией сложно: крупных сёл с названием Асмаково на картах России и Беларуси нет, но есть деревни Асмаки в Смоленской области (встречаются в писцовых книгах XVII века). Смоленщина — регион, где польское влияние смешивалось с русским, и фамилии на -ский там не редкость. Если Асмаковские родом оттуда, то их предки могли быть мелкими землевладельцами или крестьянами, получившими фамилию по названию деревни, где жили.

Итог: фамилия Асмаковская — скорее всего, топонимическая, с польским суффиксом, указывающая на происхождение из места Асмаково (вероятно, в Смоленской области). Основа неясна, но может восходить к тюркскому прозвищу или русскому диалектному слову. Дворянского происхождения у неё, скорее всего, нет — такие фамилии давали и простым людям.