Фамилия Асонов образована от имени Асон — одной из произносительных форм крестильного имени Иасон. В переводе с греческого Иасон означает «целитель, исцеляющий». Именно это имя носил мифологический герой, возглавивший поход аргонавтов за золотым руном. В церковном календаре почитается несколько святых с этим именем: апостол Иасон (память 11 мая), мученик Иасон (1 апреля) и святитель Иасон, епископ Дамасский (25 октября). Фамилия, таким образом, указывает на то, что предка звали Асоном — сокращённой или обиходной формой полного церковного имени.

Модель образования здесь простейшая и самая распространённая в русской ономастике: суффикс -ов добавляется к основе имени, указывая на принадлежность («чей?» — «Асонов сын»). Такая схема типична для фамилий, возникших в среде крестьян и посадских людей в XVI–XVII веках, когда отчества закреплялись за потомками и переставали меняться.

Существует и менее вероятная гипотеза, связывающая имя Асон с арабским Асан (Хасан), что значит «красивый». Так звали одного из сыновей халифа Али. Однако эта версия спорна: во-первых, фамилия Асонов с суффиксом -ов характерна для русской, а не тюркской или арабской традиции; во-вторых, имя Хасан в русском быту обычно адаптировалось как Асан или Гасан, а не Асон. Поэтому основным и более правдоподобным остаётся объяснение через церковное имя Иасон.

Фамилия встречается преимущественно в центральных и южных регионах России. Поскольку имя Иасон никогда не было широко распространённым, и Асоновы не принадлежали к многочисленным родам — это редкая фамилия, сохранившая память о нечастом крестильном имени в его народной форме.