Фамилия Ассонов — одна из тех, где за привычным русским окончанием скрывается имя, уходящее корнями в античную мифологию. В её основе лежит церковное имя Иасон, которое в переводе с греческого означает «целитель, исцеляющий». Так звали мифологического героя, возглавившего поход аргонавтов за золотым руном. В русской народной среде полное имя Иасон сократили и переделали на свой лад — в форму Ассон. Именно от этого обиходного варианта и образовали фамилию с помощью типичного патронимического суффикса -ов, который отвечает на вопрос «чей?»: Ассонов значит «сын Ассона».

У имени Иасон есть и христианские покровители: апостол Иасон (день памяти — 11 мая), мученик Иасон (1 апреля) и святитель Иасон, епископ Дамасский (25 октября). Это добавляет фамилии ещё один пласт — не только мифологический, но и православный.

Существует и альтернативная, но менее вероятная гипотеза. Согласно ей, имя Ассон могли связывать с арабским именем Асан (Хасан), которое переводится как «красивый» и принадлежало одному из сыновей Али. Однако эта версия слабее: фамилия Ассонов — типично русская по словообразовательной модели, и её естественнее выводить из крестильного имени, распространённого в православной среде.

Среди реальных носителей фамилии — Василий Иванович Ассонов (1843—1918), калужский краевед, популяризатор науки, писатель и переводчик, который дружил с Константином Циолковским. Его биография — хорошее подтверждение тому, что фамилия бытовала в среде образованного русского дворянства и разночинцев.