Фамилия Ассонова образована от имени Ассон. Чаще всего его считают произносительным вариантом греческого имени Иасон (в переводе — «целитель, исцеляющий»), которое носил мифологический герой, предводитель аргонавтов. В христианской традиции это имя связано с несколькими святыми: апостолом Иасоном (память 11 мая), мучеником Иасоном (1 апреля) и святителем Иасоном, епископом Дамасским (25 октября).

Есть и другая версия: имя Ассон могло возникнуть как один из вариантов арабского имени Асан (Хасан), означающего «красивый». Так звали одного из сыновей Али — ключевой фигуры в ранней истории ислама. Эта версия менее распространена, но имеет право на существование, особенно если учитывать, что фамилия встречается в регионах с тюркским или мусульманским влиянием.

Самый известный носитель фамилии — Василий Иванович Ассонов (1842–1918), калужский краевед, писатель и переводчик. Он возглавлял Калужскую губернскую учёную архивную комиссию и состоял почётным членом Московского архивного института. Его деятельность показывает, что предки Ассоновых могли быть людьми образованными и связанными с интеллектуальной работой — духовенством или чиновничеством, ведь именно из этих слоёв в XIX веке чаще всего выходили провинциальные историки и архивисты.

Суффикс -ов в фамилии указывает на принадлежность: Ассонова — буквально «дочь или жена Ассона». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от полных форм крестильных имён. Встречаемость фамилии невысока, что говорит о её локальном происхождении — скорее всего, родоначальник жил в одном из центральных или южнорусских регионов.