Фамилия Аванессов — почти наверняка армянского происхождения, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. В русской среде она выглядит как типичная фамилия на -ов, но на деле это русифицированная форма армянской фамилии Аванесян. Исходный армянский суффикс -ян (или -янц) означает принадлежность к роду, происхождение от предка. Когда носители такой фамилии оказывались в Российской империи, окончание часто заменяли на русское -ов, чтобы вписаться в местную бюрократическую традицию. Так Аванесян превращался в Аванессова — с двойной «с», что тоже характерно для адаптации: армянское «с» на письме могли усилить, чтобы сохранить звучание.

Основа фамилии — мужское имя Аванес, армянский вариант имени Иоанн (Иван), которое в свою очередь восходит к древнееврейскому Йоханан — «Яхве (Бог) смилостивился». Таким образом, Аванессов буквально означает «потомок Аванеса», то есть Иванова или Иоаннова по армянской линии. В отличие от русских Ивановых, которые массово встречаются повсеместно, Аванессовы — фамилия редкая, и её география привязана к местам компактного проживания армян: Закавказье, юг России, крупные города, куда армяне переселялись в XIX–XX веках.

Интересная деталь, которую редко замечают: написание с двумя «с» (Аванессов, а не Аванесов) может указывать на конкретный диалектный вариант произношения имени. В восточноармянском языке (литературная норма) имя звучит как Ованес, а Аванес — это западноармянская или диалектная форма, распространённая среди армян, живших в Османской империи. Удвоение согласной на стыке корня и суффикса при русификации встречается и в других подобных случаях (например, Мкртычев от Мкртыч), так что Аванессов — не ошибка, а отражение живого произношения.

По сословной принадлежности ничего определённого сказать нельзя: армянские фамилии на -ян носили и крестьяне, и купцы, и духовенство. Русифицированная форма Аванессов встречается в метрических книгах и списках мещан, купцов, отставных солдат — в основном с середины XIX века, когда началась массовая паспортизация. Если вы носите эту фамилию, скорее всего, ваши предки были армянами, которые переселились на русские земли и сменили фамилий на более привычный для местной администрации лад, сохранив при этом родовое имя в основе.