Вы ищете фамилию «Аванесяе» — и первое, что нужно сказать: такой фамилии в русском языке не существует. Это искажение. Чаще всего так на слух или при склонении записывают армянскую фамилию Аванесян (по-армянски — Ավանեսյան). В именительном падеже правильно писать именно Аванесян, а форма «Аванесяе» появляется, когда окончание «-ян» редуцируется до «-е» (например, в устной речи или при невнимательном заполнении документов). При склонении по-русски фамилия меняется: «нет Аванесяна», «к Аванесяну», но исходная форма остаётся неизменной.

Теперь о том, что стоит за правильным вариантом Аванесян. Это типичная армянская фамилия, построенная по модели «имя + суффикс принадлежности». Основа — мужское личное имя Аванес, армянский аналог библейского Иоанн (в русской традиции — Иван). В переводе с древнееврейского оно означает «Бог милостив» или «Яхве смилостивился». Суффикс -ян (в старой орфографии -янц) буквально значит «из рода такого-то»: Аванесян — «потомок Аванеса».

Армянские фамилии на -ян сложились раньше, чем русские крестьянские фамилии, и не были связаны с отменой крепостного права. Они закреплялись в среде ремесленников, купцов и особенно духовенства. Имя Аванес часто давали в церковных семьях, так что предок носителя фамилии вполне мог быть сыном священника. Географически фамилия особенно распространена в Западной Армении, в исторической области Васпуракан (район Вана), а после геноцида 1915 года — среди армянской диаспоры по всему миру.

Любопытная деталь: в России фамилию Аванесян часто путают с похожей — Ованесян. Разница только в первой букве: Аванес — это западноармянский диалектный вариант, а Ованес — восточноармянский, литературный. Обе формы восходят к одному имени, но в русском языке закрепились обе, в зависимости от того, из какой области Армении переселились предки. Так что если вы встретили написание «Аванесяе», знайте: это ошибка. Правильная форма — Аванесян.