Фамилия Аверьева — женская форма, образованная от мужской Аверьев, а та, в свою очередь, от полного крестильного имени Аверий. Это имя — упрощённый, народный вариант церковного Аверкий. Аверкий восходит к латинскому Avercius, возможно, связанному с глаголом averto — «отвращать». В православных святцах почитается святой Аверкий Иерапольский, епископ II века, так что имя имело календарную основу, хоть и оставалось редким.

Интересная деталь: в русской среде имя Аверкий чаще переделывали в более привычное Аверьян — отсюда массовая фамилия Аверьянов. А форма Аверий прижилась хуже, поэтому Аверьев и Аверьева стоят особняком. В быту имя могли сокращать до Авера или Аверя, от этих уменьшительных форм пошли фамилии вроде Аверин, но суффикс -ев в нашем случае указывает на прямую связь с полным именем: Аверьев буквально значит «сын Аверия».

Географически фамилия тяготеет к центральным областям России — Тверской, Ярославской, Московской губерниям. Это типичный след редкого календарного имени, которое могло закрепиться локально из-за почитания местного святого или семейной традиции называть детей в честь деда. По социальному составу предки Аверьевых, скорее всего, были крестьянами или мещанами: дворянские роды с такой фамилией в родословных книгах не числятся.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, Аверьева — более «книжный» вариант, чем, скажем, Аверкин или Аверягин, которые образованы от просторечных производных. Аверьев же сохраняет церковную форму имени. В документах XVII–XVIII веков встречается путаница в написании: «Аверьев» и «Авериев» — из-за неразличения безударных «е» и «и», но современная орфография закрепила вариант с «е».

Коротко: предки носительницы фамилии Аверьева носили редкое имя Аверий, почти вытесненное в народе формой Аверьян. Фамилия указывает на крестьянское или мещанское происхождение из центральной России и на то, что в роду чтили память святого Аверкия.