Фамилия Аверичкин — одна из тех, где редкий суффикс выдает нестандартный путь образования. Вместо привычного -ов или -ин здесь двойной суффикс -ичк- + -ин. Такая модель встречается в основном в севернорусских и центральных говорах, где от имени или прозвища сначала образовывали «отчество» с суффиксом -ич, а потом уже от него — фамилию с -ин. Получается цепочка: Аверичка → Аверичкин. То есть Аверичкин буквально означает «сын Аверички», а Аверичка — это уменьшительная форма от имени Аверьян (каноническая церковная форма — Аверкий).

Имя Аверкий — греческого происхождения, от averchomai («удерживать», «отвращать»). В народе его переделали в более привычное Аверьян, а оттуда пошли десятки ласкательных вариантов: Аверя, Аверка, Аверичка. Фамилия Аверичкин, скорее всего, закрепилась в среде, где было принято называть человека по отцу с уменьшительным отчеством — «Иван Аверичкин сын» — и это прозвище со временем перешло в наследственную фамилию.

По географии фамилия тяготеет к Вологодской и Архангельской областям, а также к Вятке. В XIX веке Аверичкины встречались среди крестьян и мещан, причем нередко в одних и тех же волостях из поколения в поколение. Это указывает на то, что фамилия не была случайной или привозной, а сформировалась на месте.

Стоит отличать Аверичкина от однокоренных Авериных и Аверьяновых. Первые образованы напрямую от Аверя (суффикс -ин), вторые — от полной формы имени. Аверичкин стоит особняком: его редкость говорит о том, что в основе лежала именно разговорная форма с суффиксом -ичк-, которая не везде прижилась как фамильная. Если ваш предок был Аверичкиным, он почти наверняка происходил из северной или северо-восточной части России, где такие «двойные» фамилии были в ходу.