Фамилия Аверичкина образована от имени Аверичка — народной, разговорной формы церковного имени Аверьян. Само имя Аверьян в русской традиции неоднозначно. В одних случаях оно восходит напрямую к каноническому имени Аверкий, которое носил святой равноапостольный Аверкий, епископ Иеропольский (I век). Этот святой, по преданию, проповедью и чудесами обратил ко Христу жителей своего города и далеко за его пределами, за что его и причислили к лику равноапостольных. Но в других местностях имя Аверьян закрепилось как искажённый, народный вариант имени Валериан (от латинского «валео» — быть здоровым, сильным). Таким образом, в основе фамилии может лежать либо имя святого Аверкия, либо имя Валериан в его просторечной переделке.

Фамилия стоит в женской форме (Аверичкина), мужской вариант — Аверичкин. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — сын или дочь Аверички. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от имён или прозвищ, оканчивающихся на -а, -я. Скорее всего, основатель рода Аверичкиных был человеком из простого сословия — крестьянином или ремесленником, поскольку в дворянской среде предпочитали полные канонические формы имён, а не их уменьшительные или народные варианты.

Фамилия редкая, географически тяготеет к центральным и южнорусским областям, где были особенно распространены народные переделки имён. Встречается и в украинском варианте — Аверичко. Сравните с однокоренными фамилиями: Аверичев, Аверин, Аверьянов, Аверкиев — все они восходят к одному корню, но различаются суффиксами и степенью «обкатки» имени в быту. Аверичкина стоит в этом ряду особняком: суффикс -ичк- выдает ласкательное, почти домашнее происхождение прозвища, которое затем закрепилось как фамильное имя.