Фамилия Аверкиева — женская форма от Аверкиев, а та, в свою очередь, образована от крестильного имени Аверкий. В основе имени лежит латинский глагол averto — «обращать в бегство», так что дословно Аверкий означает «обращающий в бегство». Имя попало в святцы благодаря нескольким раннехристианским святым: известно три святых покровителя Аверкия — два мученика (память одного приходится на 29 февраля, второго — на 8 июня) и равноапостольный святитель Аверкий, епископ Иерапольский (4 ноября). В народной среде имя прижилось, и от него пошла фамилия.

Вопреки ожиданию, основатель рода не обязательно был человеком высокого статуса: имя Аверкий встречалось и у крестьян, и у духовенства. Окончание -ев указывает на принадлежность («чей?» — сын Аверкия), это стандартная русская патронимическая модель.

Фамилия фиксируется в документах XIX — начала XX века. В Книге памяти Республики Карелия упоминаются Александр Васильевич Аверкиев (1874 г. р., деревня Кодыковка Куйбышевского района) и Александр Петрович Аверкиев (1892 г. р., деревня Тулокса Олонецкого района). В Книге памяти Орловской области значится Алексей Гаврилович Аверкиев (1879 г. р., село Вязовая Дубрава Никольского района). Эти записи показывают, что фамилия бытовала в центральных и северо-западных губерниях России.

Из известных однофамильцев — Дмитрий Васильевич Аверкиев (1836–1905), русский драматург, беллетрист и театральный критик. Его творчество приходится на вторую половину XIX века, и он остается самым заметным носителем этой фамилии в культурной истории.

В написании «Аверкиева» (с буквой «и» после «к») нет ничего необычного: это стандартная передача имени Аверкий через суффикс -ев. Встречается и вариант «Аверкеев» (от народной формы Аверкей), но он менее распространен.