Фамилия Аверкова образована от имени Аверко — народной, разговорной формы крестильного имени Аверкий. В переводе с латинского оно означает «отвращающий, удаляющий, обращающий в бегство». За этим значением стоят два почитаемых в православии святых покровителя: мученик Аверкий (день памяти — 8 июня) и равноапостольный святитель Аверкий, епископ Иерапольский (4 ноября). Модель типична для русских фамилий: суффикс -ов присоединился к основе имени, и получилось отчество «Аверков сын» — то есть потомок человека по имени Аверко.

Сама форма Аверко — это усечённый, обиходный вариант полного церковного имени Аверкий. Такие «полуимена» на -ко были особенно распространены в простонародной среде в XVI–XVII веках, особенно на юго-западе и в центральной России. Именно поэтому, скорее всего, основатель рода Аверковых был человеком из простого сословия — крестьянином или посадским, а не представителем знати. Фамилии на -ов у дворян часто фиксировались по полной форме имени, а у крестьян — по обиходной.

Интересная деталь: фамилия Аверков (и её женская форма Аверкова) встречается не так часто, как, например, Аверкиев или Аверьянов, хотя корень у них общий. Аверьянов, в свою очередь, пошёл от простонародного Аверьян — ещё одной переделки того же Аверкия. Так что все эти фамилии — родственники, разошедшиеся по разным говорам и регионам. Если ваш предок носил фамилию Аверкова, он мог происходить из мест, где было принято укорачивать имена на -ко, — например, из бывших новгородских земель или из северо-восточных областей.