Фамилия Аверкива — один из тех редких случаев, когда женская форма фамилии стала самостоятельной и закрепилась в документах. Строго говоря, это не мужская фамилия Аверкиев в родительном падеже, а отчество или прозвище в форме притяжательного прилагательного женского рода: «чья?» — Аверкива. В русской традиции такие формы обычно давали дочерям или вдовам в переписных книгах, но в некоторых регионах (особенно на Русском Севере и в Сибири) они превратились в наследственные фамилии, которые передавались без изменений.

Основа фамилии — каноническое мужское имя Аверкий. Оно восходит к латинскому Avercius (возможно, от этрусского корня со значением «угодный» или «отгоняющий»). В святцах имя известно благодаря мученику Аверкию Иерапольскому, чей культ был особенно распространён в Византии, а затем и на Руси. В народном произношении имя часто звучало как Аверка, Аверьян, отсюда и фамилии Аверкиев, Аверьянов.

Фамилия Аверкива образована по продуктивной для женских отчеств модели: от имени Аверка (разговорная форма Аверкия) плюс суффикс -ин, но в женской огласовке. То есть буквально «принадлежащая Аверке». Если бы фамилия была мужской, она звучала бы как Аверкин. Сохранение окончания -а в качестве фамильного суффикса — черта, характерная для северных и сибирских говоров, где фамилии на -их, -ых тоже нередко застывали в косвенных падежах.

Встречается фамилия крайне редко. По данным современных телефонных справочников и баз переписи, носительницы Аверкива живут в основном в Вологодской и Архангельской областях, а также в Забайкалье — что подтверждает версию о северном происхождении. Среди мужчин фамилия почти не фиксируется: если мужчина носит Аверкива, это, скорее всего, ошибка писаря или результат того, что фамилия закрепилась от матери-одиночки.

Словообразовательно фамилия стоит в одном ряду с редкими формами вроде Агафьина, Евдокимова (с ударением на последний слог), где женское окончание стало частью фамилии. Это не «неправильная» фамилия, а живой след того, как в прошлом крестьянские документы фиксировали людей по материнской линии.