Фамилию Азарчугов удобнее всего разбирать, отталкиваясь от её окончания. Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: «чей?» — Азарчугова, то есть сын Азарчуга. Основа здесь не полное крестильное имя, а прозвище или производная форма имени Азарий.

Самая прозрачная версия — связь с именем Азар (сокращение от Азарий). В церковном календаре это имя носил один из трёх отроков в пещи огненной. В народной речи имя Азарий быстро редуцировалось до Азара, а затем появилась уменьшительная форма Азарчук. Суффикс -ук/-юк в восточнославянских говорах (особенно украинских и южнорусских) означает «маленький» или «сын»: Азарчук — сын Азара. Когда носитель такой фамилии оказывался в среде, где преобладала великорусская модель на -ов, окончание переделали: Азарчук стал Азарчуговым. Это типичный случай «обрусения» западнорусской или малороссийской фамилии.

Вторая версия, менее вероятная, отталкивается от слова «азарт». В русских говорах «азартный» человек — горячий, вспыльчивый. Однако прозвище Азарт в письменных источниках XVI–XVII веков не встречается, а форма Азарчук от него образовалась бы неестественно. Скорее всего, это народное переосмысление уже готовой фамилии, когда корень подтянули к более понятному слову.

Географически фамилия Азарчугов тяготеет к югу России — Воронежская, Ростовская области, Ставрополье. Именно в этих регионах исторически смешивались русские и украинские диалекты, и фамилии на -чук нередко получали русское окончание -ов. Сословно предки Азарчугова — скорее всего, крестьяне или однодворцы, а не дворяне: фамилия не фиксируется в родословных книгах и не имеет аристократического суффикса -ский.

Итог простой: Азарчугов — это «сын Азарчука», то есть внук или правнук человека по имени Азар (Азарий). Фамилия прошла путь от уменьшительного прозвища до патронимической формы, сменив диалектное окончание на великорусское.