Фамилия Азарькова — женская форма, а мужская, Азарьков, образована по одной из самых распространённых в русской ономастике моделей: через суффикс -ов от имени или прозвища. В основе лежит древнееврейское имя Азарья (Азария), которое в русской традиции звучало как Азарий, Азар, а в просторечии — Азарка. Имя это означает «помощь Бога» или «Бог помог», и в святцах оно есть: так звали одного из ветхозаветных пророков.

Скорее всего, предок носителя фамилии был человеком незнатного происхождения — крестьянином или посадским, которого в быту звали Азарка. Уменьшительная форма на -ка в XVI–XVII веках была нормой для простонародья, и от неё впоследствии и возникла фамилия. Суффикс -ов указывает на принадлежность: «чей?» — «Азарьков», то есть сын или потомок Азарки. Интересно, что в документах встречается и написание Азарков (без мягкого знака), но форма с «ь» — Азарьков — точнее передаёт исходное имя Азарий, где «рь» смягчается.

Встречается эта фамилия не повсеместно, а с заметной концентрацией в центральных регионах России, особенно в бывших Рязанской и Тамбовской губерниях. Там имя Азарий было в ходу у крестьян, и фамилия закрепилась в нескольких сёлах. В отличие, скажем, от фамилии Азаров, которая может восходить и к тюркскому корню (от слова «азар» — «дерзкий»), Азарьков однозначно библейского происхождения — это редкий случай, когда ономастика почти не даёт повода для споров.

Разбор этой фамилии — хороший пример того, как работает словообразовательная модель: основа (Азарк-) плюс притяжательный суффикс -ов дают чёткое указание на родство. В мужском варианте Азарьков ударение падает на второй слог — на «а́» или на «о́»? В говорах Рязанщины чаще слышат Азарько́в, хотя литературная норма допускает колебания. Женская форма Азарькова образована по стандартному правилу: к мужской основе добавили окончание -а, и она склоняется как обычное прилагательное. В метрических книгах XIX века встречаются оба варианта — и Азарьков, и Азарков, но второй фиксировали реже, обычно у грамотеев, которые записывали фамилию на слух, без учёта мягкого знака в исходном имени.