Фамилия Азарьевы образована от крестильного имени Азарий. В переводе с древнееврейского оно означает «помощь Божья». Так звали одного из трёх отроков, которые по библейскому преданию вышли невредимыми из огненной печи. Именно эта популярная в христианстве история сделала имя известным на Руси, а фамилия пошла по стандартной модели: к основе имени (Азар-) добавили притяжательный суффикс -ьев, указывающий на принадлежность («чей?» — «сын Азария»). Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог — Аза́рьевы, хотя в разговорной речи встречается и вариант на первый.

Менее вероятная версия выводит фамилию от восточного мужского имени Азар. Оно восходит к персидскому «азер» — «огонь». Если эта гипотеза верна, то фамилия могла возникнуть не в церковной, а в купеческой или служилой среде, где были сильны контакты с Востоком. Но для русской ономастики типичнее образование от церковного имени: суффикс -ьев почти всегда указывает на каноническую основу, а не на заимствованное прозвище.

Фамилия не слишком частая, но встречается в нескольких регионах. Есть запись об Азарьевых среди дворян Тверской губернии, а также в среде крестьян и мещан центральной России. Это говорит о том, что фамилия не закрепилась за одним сословием: её могли носить и священники (по имени святого), и миряне. Точное время возникновения назвать сложно — процесс становления фамилий шёл несколько столетий, но сама форма на -ьев указывает на XVII–XVIII века, когда такие патронимические фамилии уже массово закреплялись.

В написании возможны варианты: Азарьев и Азариев. Первый — более старый и распространённый, второй — результат поздней «книжной» переделки, когда фамилию пытались приблизить к полной церковной форме имени.