Фамилия Азоренко построена по типичной украинской модели с суффиксом -енко, который в буквальном смысле означал «сын» или «маленький». В Поднепровье, Слобожанщине и в среде казачества такие фамилии фиксировали отчество: Азоренко — это «сын Азора». Спор вызывает только то, что стояло в основе — имя или прозвище.

Самое прямое объяснение — народная форма библейского имени Азария («помощь Яхве»). В украинском произношении Азар легко переходил в Азор, и от этого варианта образовали отчество. В письменных источниках XVII–XVIII веков люди с именем Азар (или Азор) встречаются, и фамилия Азоренко вписывается в обычную для Восточной Украины практику, когда отчество на -енко застывало в фамилию и передавалось детям.

Версия с прозвищем слабее. В южнорусских говорах «азор» могло означать «зоркий» или «глазастый» (от «зреть», «взоры»), но для фамилий на -енко прозвищные основы менее характерны, чем личные имена. Связь с тюркским «азар» (дерзкий, наглый) тоже возможна, но фамилия не сконцентрирована в регионах с сильным тюркским влиянием, что делает эту гипотезу маловероятной.

Географически Азоренко — украинская фамилия с ядром в Черкасской, Полтавской и Киевской областях. В России она встречается реже, обычно как след переселенцев с Украины в XIX–XX веках. Сословно носители почти наверняка были из казаков или крестьян: дворянские фамилии на -енко в такой форме единичны. Фамилия стоит в ряду десятков тысяч подобных, рассказывающих о семейном укладе и языке Малороссии.