Фамилия Азорёнов интересна уже тем, как её произносят. Ударение падает на корень, на «ё», а не на суффикс, как в большинстве русских фамилий на -ов (Ивано́в, Кузнецо́в). Это сразу подсказывает: основа здесь не отчество от церковного имени, а что-то другое — прозвище или название, которое сохранило своё звучание.

Скорее всего, в основе лежит слово «азор» — устаревшее название ярко-синего красителя, василькового цвета или самого растения василька. В русских говорах «азор» (или «озор») фиксировался как синий цветок, а иногда и как прозвище человека с ярко-голубыми глазами. Это редкий случай цвето-прозвищной фамилии, похожей на Розов или Фиалков, но с более узкой региональной привязкой. Человек с такими глазами мог получить прозвище Азор, а его потомки стали Азорёновыми.

Менее вероятна связь с тюркским словом «азор» (мука, мучение), которое могло стать прозвищем для беспокойного или требовательного человека. Но против этой версии говорит русский суффикс -ёнов: в тюркских заимствованиях ударение обычно не смещается на «ё», а фамилии вроде Азоров встречаются, но без «ё». Форма Азорёнов явно великорусская, с характерным для северных и центральных губерний переходом «о» в «ё» под ударением.

Суффикс -ёнов — это вариант патронимического -ов после мягкой основы. Если бы исходное прозвище звучало как Азор, то сына назвали бы Азоров. Форма Азорёнов говорит о том, что основа была Азорь (с мягким знаком) или Азоря — уменьшительное от имени или прозвища. Такая модель встречается в документах XIX века по Ярославской и Костромской губерниям, где «ёканье» было нормой. Носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьянской или мещанской среды — фамилия не аристократическая, не от вотчин, а от уличного прозвища, закреплённого за одним родом.