Фамилия Азорёнов — редкий пример, где ударение ставится не на суффикс, а на корень, что сразу подсказывает направление поиска. В русских фамилиях на -ов ударение обычно падает на последний слог (Ивано́в, Кузнецо́в), но здесь оно фиксированное, на «ё». Это указывает на то, что основа — не отчество от канонического имени, а прозвище или географическое название, которое сохранило своё произношение.

Скорее всего, в основе лежит слово «азор» — устаревшее название ярко-синего красителя, василькового цвета, или же самого растения василька. В русских говорах «азор» (или «озор») фиксировался как синий цветок, иногда — как прозвище человека с ярко-голубыми глазами. В ономастике это редкий случай цвето-прозвищной фамилии, аналогичной фамилиям Розов, Фиалков, но с более узкой региональной привязкой.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским словом «азор» (буквально «мука, мучение»), которое могло стать прозвищем для беспокойного или требовательного человека. Однако против этой гипотезы говорит русский суффикс -ёнов: в тюркских заимствованиях ударение обычно не смещается на «ё», а фамилии вроде Азоров встречаются, но без «ё». Форма Азорёнов явно великорусская, с характерным для северных и центральных губерний переходом «о» в «ё» под ударением.

Суффикс -ёнов — вариант патронимического -ов после мягкой основы. Если бы исходное прозвище звучало как Азор, то сына назвали бы Азоров; форма Азорёнов говорит о том, что основа была Азорь (с мягким знаком) или Азоря — уменьшительное от имени или прозвища. Встречается в документах XIX века по Ярославской и Костромской губерниям, где «ёканье» было нормой. Носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьянской или мещанской среды — фамилия не аристократическая, не от вотчин, а от уличного прозвища, закреплённого за одним родом.