Фамилия Азоров — редкий случай, когда основа почти наверняка не русская, а греческая или церковнославянская. Слово «азор» в русских говорах не зафиксировано, зато в церковном обиходе «Азор» — это имя одного из ветхозаветных персонажей (в синодальном переводе — Азор, сын Елиакима). От этого имени и пошла фамилия: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?»), то есть Азоров — сын или потомок Азора.

Имя Азор, в свою очередь, восходит к древнееврейскому «Эзер» — «помощь». В Библии так звали нескольких человек, в том числе одного из предков Иисуса Христа в родословии от Матфея. Попасть в русскую среду это имя могло через святцы: в православных календарях упоминается мученик Азор (IV век), память которого приходится на 20 ноября по старому стилю.

С точки зрения словообразования фамилия прозрачна, но неочевидна: человек, не знакомый с библейскими именами, может принять её за искусственную или «семейную» (от слова «азоры» как якобы «взоры» или «глаза»). Однако ономастика не подтверждает таких версий — ни в словаре Б. Унбегауна, ни в работах В. Никонова нет указаний на бытовое прозвище «Азор». Все примеры, которые встречаются в метрических книгах XIX века (например, в Тамбовской и Саратовской губерниях), относятся к священническим и мещанским родам, где библейские имена давали детям по святцам.

Географически Азоровы — фамилия редкая, но не единичная. В основном она встречается в центральных и южных регионах России, что косвенно подтверждает её книжное, а не диалектное происхождение: в крестьянской среде такие имена давали реже, чем в духовном сословии. Поэтому предки современных Азоровых, скорее всего, были либо церковнослужителями, либо горожанами, получившими фамилию по имени деда, которого нарекли в честь святого.

Других версий — от тюркского «азор» (нечто вроде «гнедой»?) или от греческого «азорос» (нестриженый?) — нет в серьёзных источниках, и притягивать их не стоит. Фамилия Азоров — чистый пример того, как библейское имя, пройдя через святцы, стало русской фамилией по стандартной модели на -ов.