Фамилия Азовсков образована по модели, типичной для южнорусских и украинских земель: к основе «Азов» добавили суффикс -ск-, а затем окончание -ов, обозначающее принадлежность. Получается, что Азовсков — это «сын того, кто из Азова» или «с Азовского моря». В отличие от более простых фамилий вроде Азовцев или Азовкин, суффикс -ск- указывает на связь с местностью, а не с прозвищем по человеку.

Главная версия связывает фамилию с гидронимом Азовское море. Название этого водоёма восходит к тюркскому «азак» — «устье». Азовское море — северо-восточный боковой бассейн Чёрного моря, самое мелкое море в мире. Возможно, родоначальник Азовсковых родился на его берегу. Однако вторая версия не менее весома: в основе фамилии лежит название города Азов, история которого богата и запутанна.

Азов — один из древнейших городов юга России. Его построили греки, в конце Х века он подпал под власть Владимира I, который отдал город вместе с Тмутараканью в удел сыну Мстиславу. Около 1067 года Азов покорили половцы, и тогда он получил нынешнее название. В XIII веке город перешёл к генуэзцам и стал перевалочным пунктом для индокитайской торговли. В 1637 году Азов взяли казаки, но в состав Российской империи он вошёл лишь в 1739 году, после русско-турецкой войны 1735–1739 годов, когда крепость взяли войска генерала Ласси и по Белградскому миру она навсегда осталась за Россией. Вполне вероятно, что предок Азовсковых жил в этом городе или нёс там службу.

Обратите внимание на редкое окончание -ов при основе на -ск. Обычно фамилии на -ский не получают дополнительного -ов, но в русской ономастике встречаются случаи, когда прозвище по месту переоформляли в более привычную патронимическую модель: Азовский → Азовсков. Такая двойная суффиксация — признак того, что фамилия закрепилась не в дворянской среде (где преобладали чистые -ские), а среди простых людей, которым было привычнее отвечать на вопрос «чей ты?» — Азовсков.