Фамилия Азовскова — женская форма фамилии Азовсков, и её разбор стоит начать с необычного суффикса. В русских фамилиях чаще встречаются окончания -ов/-ев, -ин или -ский, но здесь мы видим сочетание -овск-: основа «Азов» плюс суффикс -овск- и окончание -ов (в мужском варианте). Такая модель характерна для фамилий, образованных от географических названий с помощью суффикса принадлежности, но не напрямую от города Азов, а через прозвище или именование человека «Азовский» — то есть «тот, кто родом из Азова или имеет к нему отношение». Суффикс -овск- в этом случае выполняет роль вторичного притяжательного форманта, что встречается реже, чем просто «Азовский». Таким образом, предок носителя фамилии мог быть выходцем из города Азов (ныне Ростовская область) или из села с похожим названием.

География фамилии Азовскова/Азовсков — преимущественно юг России и Поволжье. По данным современных телефонных справочников и архивных записей, наибольшая плотность носителей фиксируется в Волгоградской, Ростовской и Астраханской областях. Это логично: Азов — исторический центр Приазовья, и фамилия могла закрепиться за казаками или крестьянами, переселившимися оттуда вглубь степей. Встречается она и в Сибири, куда фамилию могли принести переселенцы конца XIX — начала XX века.

Словообразовательная модель позволяет предположить, что фамилия сложилась не ранее XVII века, когда Азов стал активно упоминаться в документах после Азовских походов Петра I. До этого город был известен как турецкая крепость, и русское население там было редким. Вероятнее всего, фамилия возникла в среде служилых людей или казаков, которые несли службу на южных рубежах и получали прозвища по месту службы или жительства. В отличие от фамилий на -их/-ых (типа Азовских), которые чаще встречаются в северных регионах, форма Азовсков — южного происхождения.

Вариантов происхождения от личного имени или профессии практически нет: корень «азов» не имеет иного значения, кроме топонимического. Поэтому версия о связи с городом Азов — единственная и наиболее правдоподобная. Фамилия редкая, не входит в число массовых, что делает её интересным маркером региональной истории.