Фамилия Азриян — редкий случай, когда географическое происхождение почти очевидно, а вот значение приходится реконструировать. Начнём с самого заметного: суффикс -ян. Это типичный армянский патронимический показатель, означающий «из рода такого-то» или «потомок». Однако основа «Азри» в привычных армянских именах не встречается, и здесь мы сталкиваемся с двумя версиями, обе уходят корнями в библейские тексты.

Первая и наиболее вероятная версия: Азриян — это русифицированная или тюркизированная форма библейского имени Азария (Азарьян). В Ветхом Завете Азария — один из сподвижников пророка Даниила, которого в русской традиции чаще называют Авденаго. Имя переводится с иврита как «помощь Яхве» (Бог помог). В армянской среде имя Азария было известно, но при переходе в русскую письменность через тюркское посредство (например, через крымских армян или армян, живших в Османской империи) начальный звук мог редуцироваться, и форма «Азриян» закрепилась как самостоятельная. Подтверждением служит существование однокоренных фамилий Азарян и Азрян — Азриян лишь один из вариантов произношения и записи.

Вторая версия, менее распространённая, связывает фамилию с арабским словом «азри» (девственный, целомудренный) или с тюркским именем Азраил (ангел смерти). Но эта гипотеза слабее: в армянской ономастике практически нет фамилий, образованных напрямую от арабских нарицательных слов, минуя личное имя. Кроме того, суффикс -ян почти всегда крепится к личным именам или прозвищам, а не к абстрактным понятиям. Так что первая версия — «потомок Азарии» — выглядит куда убедительнее.

Географически фамилия встречается в основном на юге России и в Закавказье: в Краснодарском крае, Ростовской области, а также в Армении и среди армянской диаспоры. Носители — скорее всего потомки армянских переселенцев, которые в XIX — начале XX века переезжали из исторической Армении и Османской империи в пределы Российской империи. Сословная принадлежность могла быть разной: среди армян были и купцы, и ремесленники, и крестьяне. Фамилия не указывает на дворянство или духовенство — это рядовая патронимическая фамилия, каких тысячи. В русском языке форма закрепилась с утратой первого «а» и под влиянием местных говоров.