Фамилия Бабурчик — редкий случай в русском ономастиконе, где основа и суффикс не складываются в привычную картину. Если бы фамилия была образована по стандартной модели, мы бы ожидали форму Бабуров или Бабурин. Вместо этого перед нами фамилия с уменьшительно-ласкательным суффиксом -чик, который в русских фамилиях встречается нечасто и обычно указывает на прозвище, а не на отчество. То есть Бабурчик — это не «сын Бабура», а скорее «маленький Бабур» или «тот, кого звали Бабурчик».

Корень «бабур» — прозрачный, но многозначный. Самое прямое объяснение лежит на поверхности: диалектное слово «бабу́р» или «бабу́ра» в ряде русских говоров (особенно северных и уральских) означало «бабочка», «мотылёк». В этом случае прозвище Бабур могли дать человеку лёгкому, суетливому или, напротив, щеголеватому, одетому ярко. Однако есть и вторая версия: в тюркских языках «бабур» значит «тигр» (отсюда имя основателя империи Великих Моголов Бабура). Для русских фамилий тюркская основа — обычное дело, и прозвище Бабур мог получить человек сильный, свирепый или с рыжевато-полосатой внешностью. Но в паре с русским суффиксом -чик тюркская версия выглядит менее органично: тюркские прозвища обычно обрастали суффиксами -ов или -ин, а не уменьшительными.

Третья, более прозаичная гипотеза отсылает к ремеслу. «Бабурить» в некоторых диалектах означало «много и попусту говорить», «болтать». Тогда Бабурчик — это «болтун», «говорун», и суффикс -чик здесь играет ту же роль, что и в фамилиях Говорчик, Шептунчик: он не столько уменьшает, сколько смягчает прозвище, делая его почти ласковым.

Географически фамилия Бабурчик тяготеет к западу России и Украине. Встречается она редко — носителей можно пересчитать по пальцам. Это говорит о том, что фамилия, скорее всего, не уходила далеко от места своего возникновения и могла закрепиться в одной-двух деревнях. По сословной принадлежности ничего определённого сказать нельзя: прозвищные фамилии на -чик бытовали и у крестьян, и у мещан, и у казаков. Единственное, что можно утверждать: перед нами не дворянская фамилия — такие обычно оформлялись суффиксами -ский или -ов.

Так что если вы Бабурчик, ваши предки почти наверняка получили прозвище за характер или внешность, а не за профессию. И судя по суффиксу, прозвище это было скорее беззлобным, домашним — не «Тигр», а «Тигрёнок».