Фамилия Бачуринская — яркий пример того, как географическая привязка побеждает патронимическую модель. Перед нами типичная «географическая» фамилия, образованная по модели «-ский/-цкий», которая в дворянской и польско-шляхетской среде означала владение землёй или происхождение из определённого места. В отличие от крестьянских фамилий на «-ов» или «-ин», указывающих на отца (чей сын?), Бачуринская прямо говорит: «из Бачурина» или «из Бачуринок».

Основа фамилии — топоним Бачурино или Бачуринка. Такие названия встречаются в России и Беларуси, чаще всего это бывшие помещичьи усадьбы или хутора. Корень «Бачур» — старорусское или диалектное прозвище. В словарях Даля и Фасмера «бачура» — это говорун, краснобай, иногда с оттенком хвастуна или пустомели. Однако есть и другая версия: в некоторых говорах «бачурить» значило «колдовать» или «ворожить», так что прозвище могло достаться знахарю или ведуну. Первый вариант — про болтуна — более распространён и логичен для бытового прозвища.

Суффикс «-инск-» указывает на принадлежность к роду или местности. Если бы фамилия была Бачурин, она бы означала «сын Бачура». Но форма на «-ская» — это типично дворянский или шляхетский вариант: владелец деревни Бачурино становился Бачуринским, а его дочь или жена получала фамилию Бачуринская. В XIX веке такие фамилии часто закреплялись за семьями духовенства, которые брали фамилии по названиям приходов или сёл. Поэтому предки Бачуринской могли быть либо мелкими помещиками, имевшими земли в урочище Бачурино, либо священниками, служившими в храме, построенном на месте бывшей усадьбы.

Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Бачу́ринская, хотя в некоторых говорах возможно смещение на последний слог, по аналогии с польскими фамилиями. В написании стоит обратить внимание на двойное «н» — это грамматическая норма для притяжательных прилагательных на «-ский», и потеря одной буквы («Бачуринская» с одной «н») встречается в старых документах, но считается ошибкой.

Итог: фамилия редкая, не «массовая», её носители — потомки людей, связанных с конкретным местом. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать не просто «Бачура» в роду, а населённый пункт Бачурино — скорее всего, в центральной России или на западе страны.