Фамилия Бадиковская — редкий пример фамилии, образованной не от мужского, а от женского имени или прозвища. Суффикс -овск-/-евск- в сочетании с окончанием -ая указывает на типичную модель польско-белорусских дворянских или шляхетских фамилий, которые часто закреплялись по названию имения или местечка. Но в данном случае основа — Бадик — скорее всего, не топоним, а личное имя или прозвище.

Корень «Бад-» в славянских говорах многозначен. В старых польских и белорусских диалектах «бадзяць» означало «бродить, блуждать», а «бадзяка» — «бродяга, скиталец». Прозвище Бадик могли дать непоседливому человеку, любителю странствий. Другая версия, менее вероятная, но допустимая: от древнерусского имени Бадило (известного по новгородским берестяным грамотам) или от «бада» — удар, тычок (прозвище задиры).

Главная особенность фамилии — её «женский» суффикс. В русской традиции фамилии на -ский/-цкий обычно не меняют род: Бадиковский — мужская, Бадиковская — женская. Но в польско-литовской среде фамилии на -овская/-евская могли закрепляться за целым родом, если его основательница носила прозвище Бадиха (жена Бадика). В таком случае Бадиковская — это «принадлежащая роду Бадиков» или «из дома Бадиков».

Географически фамилия тяготеет к западным регионам: Беларусь, западная Украина, восток Польши. Встречаются единичные носители в России, но это, как правило, потомки переселенцев конца XIX — начала XX века. Сословно — скорее всего, мелкая шляхта или зажиточные крестьяне, поскольку фамилии на -ский в этой полосе часто носили именно они, а не простонародье.

С точки зрения словообразования, Бадиковская стоит в одном ряду с фамилиями типа Борисовская, Степановская, но с той разницей, что основа здесь не каноническое имя, а прозвище. Это делает фамилию более редкой и выразительной: она не «привязана» к святцам, а отражает живую народную речь. Если ваш предок звался Бадиком, он мог быть и бродячим торговцем, и просто человеком с неспокойным характером — точного ответа уже не найти, но направление ясное.