Фамилия Баёнова — редкий случай, когда ударение меняет всё. Если ударение падает на последний слог — Баёнóва, корень восходит к тюркскому «баян» (богатство, изобилие, а также «сказитель»). Если на первый — Бáёнова, основа та же, но модель образования другая: от прозвища Баён, которое мог получить говорливый человек или тот, кто любил рассказывать байки. В обоих случаях фамилия женская, мужская форма — Баёнов.

Словообразовательная модель простая: суффикс -ов/-ев, типичный для русских фамилий, присоединили к основе Баён. Такая модель в XVI–XVII веках была основной для крестьян и мещан центральной России. Но сама основа «баён» — не славянская. В тюркских языках «баян» означает «богатый» или «владыка» (ср. казахское «бай» — богач). В древнерусском «баян» — это и сказитель (от «баять» — говорить, рассказывать), и имя собственное, известное по «Слову о полку Игореве». Поэтому у фамилии два равноправных источника: либо прозвище из народной речи, либо тюркское имя, данное предку за достаток или положение.

Географически фамилия встречается редко. Основной ареал — юг России и Поволжье, где исторически сильны тюркские влияния. Встречается также на Урале и в Сибири, куда фамилию могли занести переселенцы. В дореволюционных переписях Баёновы фиксировались в основном как крестьяне и мещане; дворянских родов с такой фамилией нет.

Интересная деталь: в некоторых говорах «баён» означало «краснобай», «пустомеля». Если фамилия возникла в такой среде, она могла быть ироничным прозвищем — давали человеку, который любил приукрасить рассказ. Но более вероятно, что в основе лежит нейтральное или уважительное значение: «богатый» или «сказитель».

Сравните с однокоренными фамилиями: Баянов, Баяновский, Баев. Все они имеют ту же тюркскую основу «бай», но различаются суффиксами. Баёнова — одна из немногих, где корень сохранил древнюю форму «баян» без редукции.