Фамилия Багдашкина — женская форма от Багдашкин, и её ключ в суффиксе -ин. В русской ономастике фамилии на -ин почти всегда образуются от основ, оканчивающихся на -а или -я: Иванов сын — Иванов, а вот сын Кузьмы — Кузьмин. Здесь исходная форма — Багдашка, и это не просто имя, а скорее прозвище или уменьшительно-обиходная форма от имени Багдат.

Само имя Багдат (или Багдад) — редкое в русской среде, но хорошо известное в тюркских языках. Оно восходит к названию города Багдад, который в средние века был крупным центром торговли и культуры. В татарской, башкирской и казахской традициях имя Багдат могли давать мальчикам, желая им широты кругозора или удачи в делах, — своего рода «городское» имя, как, например, Бухара или Казань. Суффикс -ка в основе Багдашка — типичный для разговорной, домашней речи: так могли звать человека в семье или в деревне, сокращая и смягчая полное имя.

Фамилия Багдашкин (и, соответственно, Багдашкина) — явно недворянская, крестьянская или мещанская. В центральной России она встречается редко, а её география тянется к Поволжью и Приуралью, где сильно татарское и башкирское влияние. Предки носительницы фамилии, скорее всего, были из крещёных татар или русских, живших в смешанной среде, — иначе имя Багдат просто не прижилось бы в качестве основы для фамилии.

Интересная деталь: в отличие от фамилий на -ов (Иванов, Петров), которые часто становились «стандартными», Багдашкин сохранил в себе живую разговорную форму. Человека звали не «Багдатов» (от полного имени), а именно Багдашка — по-домашнему, и это прозвище закрепилось за его потомками. Так что фамилия Багдашкина — не про официальный титул, а про повседневное, тёплое обращение, которое со временем стало официальным.