Фамилия Бадашкин — один из тех случаев, когда за простым звучанием скрывается сразу несколько возможных историй, и ни одну из них нельзя отбросить с порога. В основе фамилии лежит прозвище Бадай, которое в народной среде чаще всего давали озорнику, шалуну или задире. Слово «бадай» в этом значении бытовало в северных и центральных губерниях, и человек с таким прозвищем явно выделялся характером.

Но есть и другая версия, и она не менее убедительна. В тверских говорах «бадашкой» называли банную шайку — простой деревянный ковш для воды. В новгородских же краях тем же словцем обозначали игрушку. Оба этих слова, хоть и разные по смыслу, могли перейти в прозвище: либо по сходству — например, за круглую фигуру или манеру «плескаться», либо по роду занятий — мастер, делавший шайки или игрушки. В таком случае Бадашкин — это потомок не озорника, а ремесленника.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — сын Бадашки). Сама же основа «Бадашк-» — это уменьшительная форма от Бадай или прямое производное от «бадашка». Сравните с фамилиями Бадаев, Бадалов: там корень тот же, но суффиксы другие.

Географически фамилия Бадашкин тяготеет к северо-западу России — к бывшим Новгородской и Тверской губерниям, где и фиксируются диалектные слова. Встречается она нечасто, что косвенно подтверждает её локальное происхождение. В списках известных носителей фамилия не мелькает, но это как раз тот случай, когда ценность не в громких именах, а в живом следе народной речи.

Если подытожить: перед нами фамилия-загадка с двумя равноправными корнями — прозвищным и предметным. И та и другая версия укладывается в логику русских фамилий, и окончательный выбор зависит от того, в какой именно местности жили первые Бадашкины.