Фамилия Багриевская — пример славянской фамилии, образованной по модели, типичной для польской, украинской и западнорусской традиции. В основе лежит суффикс -евск-, который указывает на принадлежность к роду или местности. Разберём две основные версии происхождения.

Первая версия связывает фамилию с прозвищем Багрий. Слово «багрий» родственно прилагательному «багровый» — цвету густой крови, зари или дорогой ткани. Прозвище мог получить человек с ярким румянцем, рыжими волосами или склонностью носить одежду красных оттенков. В старину прозвища по цвету давали легко и охотно: вспомним фамилии Чернов, Белов, Рыжов. Суффикс -евск- в таком случае превращает прозвище в фамилию по образцу «чей?» — «Багриевский» (потомок Багрия). Форма Багриевская — женский вариант той же фамилии.

Вторая версия — топонимическая. На юге Украины, в Херсонской области, существовал посёлок Багриевский. Название посёлку, скорее всего, дал тот же корень «багр-» (возможно, по цвету почвы или воды). Жители таких мест часто получали фамилии по названию населённого пункта: кто из Багриевского — тот Багриевский. Эта версия особенно правдоподобна, если учесть, что фамилии на -ский/-цкий в восточнославянской среде чаще указывали на географическое происхождение, а не на прозвище отца.

Словообразовательная модель проста: корень багр- + суффикс -евск- + окончание -ая. В мужском варианте — Багриевский. Ударение, судя по типичному произношению, падает на второй слог: БагрИевская.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) модель на -ский/-евский описана как характерная для дворянства и духовенства, но в народной среде она тоже встречалась — особенно у переселенцев, которые «приписывались» к новому месту жительства. Поэтому носительница фамилии Багриевская могла происходить как из семьи священника или мелкопоместного дворянина, так и из крестьян, переехавших в посёлок Багриевский.

Однокоренные фамилии — Багров, Багреев, Багринов — встречаются чаще, чем Багриевский. Редкость суффикса -евск- делает фамилию локально привязанной: скорее всего, её корни действительно лежат на юге Украины или в смежных областях России, куда переселялись выходцы из Херсонщины.

Итог прост: если ваши предки носили фамилию Багриевская, стоит искать либо прозвище Багрий (человек с красноватой внешностью или характером), либо конкретный посёлок на карте. Второе — немного вероятнее, потому что такие фамилии реже возникали случайно и чаще закреплялись за целыми семьями переселенцев.