Фамилия Баий — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В отличие от большинства русских фамилий на -ов, -ев или -ин, она не имеет стандартного патронимического суффикса и заканчивается на -ий, что сразу наводит на мысль о польском, украинском или белорусском влиянии. В этих языках суффикс -ий часто указывает на прилагательное: Баий — буквально «баев», то есть относящийся к некоему Баю. Но кто такой Бай?

Самая вероятная версия: основа фамилии — тюркское слово «бай» (богатый, господин, хозяин). В тюркских языках это слово входило в состав множества имён и прозвищ (например, Баймурат, Байбек, Байрам). Если предок получил прозвище Бай, то его сын в русской среде мог стать Баевым, а в украинской или польской — Баем, а затем, при адъективизации, — Баий. Иными словами, Баий — это «сын Бая», где Баем называли зажиточного или уважаемого человека, либо же это была часть сложного имени, которая закрепилась как самостоятельное прозвище.

Вторая версия, менее распространённая, связывает фамилию с русским диалектным словом «баить» (говорить, рассказывать). Отсюда «бай» — говорун, краснобай. В этом случае Баий — потомок человека, известного своим красноречием. Однако эта гипотеза слабее, так как от глагола «баить» в русской ономастике обычно образовывались фамилии Байков, Баев, а форма на -ий скорее указывает на юго-западное влияние.

Географически фамилия Баий встречается в основном на Украине и в приграничных с ней областях России (Брянская, Курская), а также среди потомков украинских переселенцев. В дореволюционных записях она могла писаться с двумя «и» — Баій (по правилам украинской орфографии) или через «ѣ» — Баѣй. Такая вариативность написания — косвенное подтверждение того, что фамилия не исконно великорусская, а пришла из польско-украинской традиции, где окончание -ий типично для притяжательных прилагательных.

Сословная принадлежность носителей фамилии, скорее всего, была крестьянской или казачьей. Тюркская основа «бай» не говорит о дворянском происхождении — в южнорусских и украинских землях это прозвище мог получить любой свободный земледелец или ремесленник, имевший достаток. Дворянских родов с фамилией Баий в гербовниках не зафиксировано.

Резюмируя: Баий — фамилия украинского или польского происхождения, образованная от тюркского прозвища Бай (богач, хозяин) и оформленная по модели притяжательных прилагательных. Встречается редко, и её носители — это потомки людей, которых в своём окружении называли «баями» за состоятельность или, что менее вероятно, за говорливость.