Фамилия Баийчук — редкий пример, где географический и этнический след важнее, чем прозрачная славянская этимология. Она явно несёт на себе отпечаток польского или украинского правописания, а её основа неочевидна для носителя русского языка.

Ключ к пониманию — суффикс -чук. В украинской и белорусской ономастике этот суффикс (наряду с -ук/-юк) выполняет роль патронима, то есть указывает на потомка или сына. Если фамилия заканчивается на -чук, она, скорее всего, сформировалась на западнорусских землях (Волынь, Подолье, Галичина) или в Беларуси. Соответственно, Баийчук — это «сын Баия» или «потомок Баия».

Самая вероятная версия происхождения личного имени или прозвища «Баий» — от турецкого или крымскотатарского слова «бай» (богатый, господин, хозяин). В тюркских языках это уважительное обращение, которое могло закрепиться как прозвище за человеком зажиточным или влиятельным. В украинских говорах слово «бай» также имело хождение в значении «богач», «барин», что подтверждает возможность заимствования. Менее вероятно, но допустимо, что в основе лежит диалектный глагол «баить» (говорить, рассказывать) — тогда «Баий» могло быть прозвищем говорливого человека или сказителя, но форма «Баийчук» при таком корне выглядит натяжкой: суффикс -чук обычно крепится к имени, а не к глагольной основе.

Таким образом, фамилия Баийчук — это типичная украинская патронимическая фамилия, образованная от прозвища или имени тюркского происхождения «Баий». Носители такой фамилии — скорее всего, потомки человека, которого в среде украинского или белорусского крестьянства называли «баем» — либо за богатство, либо за властный нрав, либо просто прозвищем, данным по соседству с татарами. Фамилия редкая, в современных справочниках встречается эпизодически, что говорит о её локальном бытовании, вероятно, в одной из западных областей Украины или на юге Беларуси.