Фамилия Балабановская — из тех, что сразу выдают географию и социальный контекст. Её окончание «-ская» (а не «-ов» или «-ин») указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но с важной оговоркой: в XIX веке такие фамилии массово получали выпускники духовных семинарий, а также крестьяне и мещане, которым фамилию давали по названию места рождения или приписки. Так что Балабановская — типичная «географическая» фамилия, образованная от топонима Балабаново или Балабановка.

Названий с корнем «балабан» в России и на Украине немало. Само слово «балабан» имеет два основных значения: это крупный сокол (балобан, птица, которую использовали в соколиной охоте) и диалектное название толстого, неуклюжего человека или болтуна. Однако в основе топонимов чаще лежит первое — птица, либо тюркское имя Балабан, которое переводится как «большой, сильный». Отсюда и деревни Балабаново в Пермском крае, Калужской, Тверской и других областях.

Если фамилия дворянская, то предок Балабановских владел поместьем с таким названием. Если семинарская — её дали выпускнику, происходившему из села Балабановка или Балабаново. Третий, менее вероятный вариант: фамилия могла возникнуть от прозвища Балабан (болтун или вертопрах) с добавлением суффикса «-овский», но для русского уха такая модель звучит искусственно — обычно от прозвищ делали Балабанов или Балабанин.

С точки зрения словообразования, фамилия редкая: суффикс «-овская» указывает на принадлежность к чему-то, а не на прямое родство. В отличие от массовых Балабановых, Балабановские — локальное явление. Найти их можно в тех же регионах, где есть соответствующие сёла: Калужская, Пермская, Смоленская области. Известных носителей в истории практически нет — фамилия не «громкая», что только подтверждает её позднее, часто крестьянское или мещанское происхождение.

Итог: Балабановская — фамилия, которая рассказывает о месте, а не о характере предка. Если ваши предки носили её до 1917 года, ищите корни в конкретной деревне Балабаново. Там же, скорее всего, жили и Балабановы — дальние родственники, но с другой сословной историей.