Фамилия Балюй — редкий случай, когда прозвище застыло в чистом виде, без суффикса. Никакого -ов, -ин или -ский: перед нами исходное слово, которое стало родовым именем. Такое возможно, если прозвище было настолько выразительным, что прижилось без изменений, или если фамилию фиксировали в документах в эпоху, когда суффиксальное оформление ещё не стало обязательным.

Основа — Балюй. В русских говорах слово «балюй» или «балюйка» означало баловника, проказника, шалуна. Глагол «балить» — баловаться, дурачиться, шалить. В словаре Владимира Даля зафиксировано: «балюй» — баловник, повеса. Человек мог получить такое прозвище за весёлый нрав, склонность к розыгрышам или несерьёзное поведение. В крестьянской среде, где ценили работящих и степенных, прозвище «Балюй» звучало скорее с укором, но не зло — как домашнее прозвище для непоседы.

Есть и другая версия: связь с диалектным «балить» — говорить вздор, болтать пустое. Тогда Балюй — пустомеля, болтун. Но первая трактовка встречается чаще и подтверждается устойчивыми формами в северных и сибирских говорах.

Географически фамилия привязана к северу России и Уралу. В переписях XVII–XVIII веков Балюи встречаются среди крестьян Вятской и Пермской губерний. Это не дворянский род, не купеческая династия — прозвище осталось в низовых слоях, у государственных и монастырских крестьян. Фамилия редкая, не попала в массовые списки, потому что не получила суффиксального оформления — а значит, и не разошлась по стране через рекрутские и подушные переписи, где предпочитали стандартные формы на -ов.

В написании возможна путаница с украинским или белорусским «Балюк» (от «баля» — дитя, или от «балий» — колдун), но русский «Балюй» — самостоятельная форма, без уменьшительного суффикса. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из северной или вятской деревни, и прозвище ему дали за характер — за живой нрав или любовь к шуткам.