Фамилия Бартошич — яркий пример славянской модели образования фамилий на -ич. Суффикс -ич в южнославянских языках (сербском, хорватском, словенском) выполнял ту же роль, что русское -ович/-евич: указывал на происхождение, буквально «сын такого-то». Бартошич — это «сын Бартоши». Само имя Бартоша — уменьшительная форма от Варфоломей (в южнославянской традиции — Бартол, Бартош). Так что корень у фамилии библейский, апостольский, но в быту имя давали без связи с религиозным значением, просто как распространённое личное имя.

Географически фамилия Бартошич чаще всего встречается в Хорватии, особенно в исторической области Славония, и в Сербии (в Воеводине и центральных районах). Встречается она и в Боснии и Герцеговине, но реже. В России и других восточнославянских странах эта фамилия — пришлая, её носители — потомки переселенцев с Балкан, чаще всего из числа сербов, которые переезжали в Российскую империю в XVIII–XIX веках. Поэтому, если вы носите фамилию Бартошич в России, велика вероятность, что ваши предки были сербами или хорватами, а не русскими.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: основа Бартош- + суффикс -ич. Ударение, скорее всего, падает на первый слог: Ба́ртошич, хотя в сербском варианте допустимо и на второй. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые указывали на принадлежность (чей?), южнославянский -ич подчёркивает именно родство по прямой мужской линии. В старину это было не просто фамилией, а отчеством: Иван Бартошич — Иван, сын Бартоши.

Стоит упомянуть, что есть и польская фамилия Bartosik, образованная от того же имени, но с другим суффиксом (-ik). Бартошич — однозначно южнославянский вариант, и путать его с польским не стоит. Если же говорить о редком угле: в некоторых хорватских говорах слово «бартош» могло быть прозвищем для человека с рыжей бородой (от венгерского «barta» — борода), но это скорее народная этимология, не подтверждённая серьёзными ономастическими источниками. Основная и самая правдоподобная версия — происхождение от имени Варфоломей через форму Бартош.