Фамилия Барженаков — редкая и неочевидная. Если попытаться разобрать её по составу, первое, что бросается в глаза — суффикс -аков, а не привычный -ов. В русских фамилиях -аков встречается реже, чем -ов, и часто указывает на основу, оканчивающуюся на -ак. То есть исходное прозвище или имя, от которого пошла фамилия, звучало как Барженак.

Корень «барж-» сразу отсылает к слову «баржа» — плоскодонное речное или морское судно для перевозки грузов. Но здесь есть нюанс. Слово «баржа» заимствовано в русский язык из французского (barge) относительно поздно, в XVIII веке. Если бы фамилия возникла от названия судна, её носитель мог быть баржестроителем, перевозчиком на барже или владельцем такого судна. Однако для крестьянских фамилий, которые массово оформлялись в XIX веке, такая профессиональная привязка возможна, но не слишком типична — баржи были скорее купеческим или казённым имуществом.

Более правдоподобная версия — диалектное или искажённое прозвище. В южнорусских говорах «барж» или «баржак» могло означать брюзгу, ворчуна или неуживчивого человека. Слово «баржать» в некоторых областях значило «ворчать, браниться». Тогда Барженак — человек с тяжёлым характером, а Барженаковы — его потомки.

Есть и третья, менее вероятная, но любопытная гипотеза: связь с тюркским именем Баржан или Баржын. В тюркских языках «бар» — «есть, имеется», а «жан» — «душа». Полное имя могло означать «живая душа» или «с душой». Однако суффикс -аков не характерен для фамилий тюркского происхождения (там чаще -ов/-ев), поэтому эта версия слабая.

Географически фамилия Барженаков почти не встречается в открытых источниках. Нет данных о её концентрации в каком-то конкретном регионе, что говорит о крайней редкости. Скорее всего, это локальная фамилия, возникшая в одной деревне или в среде однодворцев. Сословно — вероятнее всего крестьянская или мещанская, без дворянских корней.

Итог: фамилия Барженаков образована от прозвища Барженак, которое, скорее всего, дали ворчливому или неуживчивому человеку. Профессиональная версия с баржей возможна, но менее убедительна. Точных данных о первых носителях нет, но фамилия однозначно русская по модели образования.