Баскинова — это отчество второго порядка. Схема простая: Баскинова — дочь Баскина, внучка Баски. Фамилия образована от прозвища Баска, и тут открывается сразу несколько версий, ни одну из которых не стоит отбрасывать.

Самая прямая и, пожалуй, самая правдоподобная связывает прозвище с французским словом «basque» — баска, широкая оборка, которую пришивали к лифу платья по линии пояса. В России эта деталь дамской одежды вошла в моду в начале XVIII века вместе с европейским кроем. Если так, то прозвище Баска было профессиональным: так могли прозвать портного, который шил такие наряды, или, возможно, торговца тканями и галантереей.

Вторая версия уводит в сторону голоса. От слова «бас» — низкий, густой звук. Прозвище Баска могли дать человеку с низким голосом или, в переносном смысле, степенному, основательному мужчине.

Третья опирается на диалектное слово «баса» — краса, красота, нарядность. В северных и сибирских говорах «баской» означало красивый, видный, нарядный. А в некоторых местностях — говорун и краснобай. Соответственно, прозвище могло указывать либо на внешность (симпатичный, щеголеватый человек), либо на характер (любитель поговорить, балагур).

В словаре С. Б. Веселовского есть любопытная запись: новгородский бортник Иван Басков, 1608 год. Бортничество — добыча мёда диких пчёл — было древним промыслом на севере Руси. Это подтверждает, что основа фамилии бытовала в живой речи уже в XVI–XVII веках, причём не в столице, а в новгородских землях. Какая из версий верна для вашей конкретной ветви — сказать сложно, но, судя по географии и времени, прозвище Баска было нередким и могло означать как ремесленника, так и просто приметного человека.